• 乘法
  • 逆矩阵

乘法

点乘
\[AB = C \\ C(_3, _4) = (Row\ 3\ of\ A) \cdot (Column\ 4\ of B) = a(_3, _1)b(_1, _4) + a(_3, _2)b(_2, _4) + ... = \sum_{k=1}^na(_3, _k)b(_k, _4)\]
列向量组合

$AB=C$

Columns of C are combination of Columns of A.

行向量组合

$AB=C$

Rows for C are combination of Rows of B.

列*行

例子：

\[\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\]
分块乘法
\[\begin{pmatrix} A1 & A2 \\ A3 & A4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} B1 & B2 \\ B3 & B4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A1*B1+A2*B3 & ... \\ ... & ... \end{pmatrix}\]

逆矩阵

如果方阵矩阵 $A$ （Invertible 可逆、non-singular 非奇异 ）存在逆矩阵 $A^{-1}$, 使得

\[A^{-1}A = I = A A^{-1}\]
不可逆矩阵或奇异矩阵的 Case

定义：You can find a vector $x$ with $Ax=0$, which $x \neq 0$, 此类矩阵为奇异矩阵或不可逆矩阵

\[\because Ax = 0 \\ \therefore A^{-1}Ax = A^{-1} 0 \\ \Rightarrow A^{-1}Ax = Ix = 0 \\ \therefore x = 0\]

如果 $A$ 可逆，从上述推倒公式中，那么 $x$ 必然是 0，但

\[\text { 假设 } A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \\ Ax = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\]

存在 $ x = \begin{pmatrix} 3 \ -1 \end{pmatrix}$ 使得 $Ax=0$，所以 $A$ 不可逆

可逆矩阵
\[\text { 假设 } A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \\ AA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = I\]

Gauss-Jordan 方法

\[\begin{pmatrix} A & I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 0\\ 2 & 7 & 0 & 1 \end{pmatrix} \tag {Argumented Matrix} \\ \text {Do Elimination} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 7 & -3\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \\ \text {从上面可以看出，之前的消元步骤} \\ E \begin{pmatrix} A & I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & A^{-1} \end{pmatrix} \\ \text {也就是说之前的 E 就是 A 的逆}\]